想听
当前位置 : 想听 > 问答 > 高中 > 数学 > 北大08自主招生数学的一道不等式题已知a...
问题:

北大08自主招生数学的一道不等式题已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若已知min{a1,a2,a3}不大于min{b1,b2,b3},求证:max{a1,a2,a3}不大于maz{b1,b2,b3}.参考方法用了构造……

更新时间:2024-03-29 02:29:27

问题描述:

北大08自主招生数学的一道不等式题

已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若已知min{a1,a2,a3}不大于min{b1,b2,b3},求证:max{a1,a2,a3}不大于maz{b1,b2,b3}.

参考方法用了构造……

宋晓宁回答:

  证明:记   f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3),g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3)   由题设易知   f(x)-g(x)=b1b2b3-a1a2a3=d(记为d)   记a=min{a1,a2,a3},b=min{b1,b2,b3},A=max{a1,a2,a3},B=max{b1,b2,b3}   有f(a)=0,由a≤b易知g(a)=(a-b1)(a-b2)(a-b3)≤0   从而有d=f(a)-g(a)≥0   因为g(x)在x≥B时是个单调递增函数,而g(B)=0,从而有   g(x)>0,任意x>B   因此x>B时,f(x)=g(x)+d>0   而f(A)=0,所以A不可能大于B,因此A≤B.   证毕.

相关推荐

推荐排行